Ein kombinatorischer Ozean

Tiefe ist Verzweigung, nicht Figuren

Im Jahr 1950 Claude Shannon, der Vater der Informationstheorie, , schätzte die Anzahl der möglichen Schachpartien. Seine Antwort, ungefähr 10¹²⁰, wurde zur Shannon-Zahl, und sie verankert unsere Intuition seither.¹ Es ist eine Zahl von solcher Größe, dass sie das physische Universum, das nur etwa 10⁸⁰ Atome.⁶ beherbergt, in Verlegenheit bringt. Man könnte jedem Atom ein eigenes Schachbrett zuweisen und hätte trotzdem nicht genug Bretter, um jede mögliche Partie auszuschöpfen.

Das Schach verdient dies auf ehrliche Weise. Schon vom Anfang an hat Weiß 20 Züge; Schwarz antwortet mit 20, und es gibt bereits 400 Stellungen nach einem einzigen Tausch. Nach sechs Halbzügen übersteigt die Anzahl 119 Millionen; bis zum zehnten erreicht sie 69 Billionen.⁴ Spieler nennen dies den Zweigfaktor, die Anzahl der legalen Möglichkeiten pro Zug. Im Schach liegt er im Durchschnitt bei etwa 35.² Diese bescheidene Zahl, Zug um Zug multipliziert, ist der Motor des Mysteriums des Spiels. In den ersten zwanzig Zügen erzeugt sie eine Größenordnung von 10⁶⁰ Partien. Die Quelle der Tiefe des Schachs sind nicht die Figuren. Es ist die Verzweigung.

Vierhundert, oder eine Billion

Die frühen Zugzahlen im Schach sind exakt bekannt. Die von WordChess sind Schätzungen, doch die beiden Spiele divergieren so schnell, dass der Unterschied innerhalb eines einzigen Zuges unübersehbar wird.⁴

Die Schach-Zahlen sind exakte Zuggenerierungszahlen (perft).⁴ Die WordChess-Zahlen gehen von etwa einer Million legaler Eröffnungsstellungen pro Seite und einem konservativen Tausend danach aus, siehe die Methodenanmerkung.

Jeder Spieler hält den gesamten Vorrat

WordChess wirkt wie der mildere Cousin, ein Wortspiel auf einem Raster, näher an einem Kreuzworträtsel als an einem Messerkampf. Dieser Eindruck ist genau falsch, und eine einzige Zeile in seinen Regeln ist der Grund: Jeder Spieler hält den gesamten Pool von hundert Kacheln.⁷

Es gibt keinen Sieben-Kacheln-Halter, kein Glück beim Ziehen, kein Warten auf einen Vokal. In jedem Zug kann ein Spieler nach nahezu jedem der 148,941 Wörter im Wörterbuch greifen, Wörter mit bis zu fünfundzwanzig Buchstaben, und nach einem Platz suchen, an dem er es ablegen kann.⁷ Scrabble, das durch seine sieben zufälligen Kacheln gedrosselt wird, bietet einen Verzweigungsfaktor von etwa 35, ungefähr so viel wie im Schach.⁵ WordChess beseitigt diese Engstelle vollständig.

Die Folge ist gewaltig. Schon der allererste Zug eröffnet zwischen einer und zwei Millionen legalen Aufstellungen, ein Wort, eine Ausrichtung und eine Stelle auf dem weit offenen 25×25-Brett. Wenn beide Spieler gerade einmalgezogen haben, hat sich das Spiel in ungefähr eine Billion Stellungen verzweigt. Schach hat nach demselben Zugwechsel vierhundert.³

Die Regeln sind einfacher. Der Raum der Möglichkeiten nicht.

Eine komplette Schachpartie, vor dem Mittagessen

Je voller das Brett wird, desto mehr driftet der Verzweigungsfaktor des Schachs auf 35 und bleibt dort. Der von WordChess bleibt im Bereich der Tausender, denn jedes bereits gespielte Wort wird zu einem neuen Anker, an dem man andocken kann, und der vollständige Satz an Kacheln bedeutet, dass die einzige echte Grenze darin liegt, welche Kreuzungen das Wörterbuch zulässt.⁷

Rechnen Sie das weiter. Bei einer bewusst konservativen Annahme von tausend legalen Zügen pro Zug erreicht WordChess 10¹²⁰, Shannons Zahl, die Komplexität einer ganzen Schachpartie, innerhalb seiner ersten zwanzig Züge. Erlaubt man zehntausend Züge pro Zug, was immer noch vernünftig ist, klettert die Zahl bei zwanzig Zügen hin zu 10¹⁶⁰: ein Vorsprung von vierzig bis hundert Größenordnungen gegenüber dem des Schachs 10⁶⁰.¹

Reduzieren Sie die Schätzung, bis Sie annehmen, ein Spieler findet nur dreihundert legale Züge pro Zug, ein Bruchteil der tatsächlichen Anzahl, und selbst nach zwanzig Zügen ergibt sich 10⁹⁹. Immer noch vierzig Größenordnungen über Schach. Die Schlussfolgerung übersteht jede pessimistische Annahme, die man ihr unterbreitet.¹

Komplexität ist die Anzahl der Zukünfte, die sich aus einer Wahl verzweigen

Schach begrenzt Sie: Ein Springer bewegt sich wie ein Springer, ein Bauer kriecht ein Feld voran, und Ihre Optionen, obwohl reichhaltig, sind endlich und vertraut. WordChess überlässt Ihnen die gesamte Sprache und das gesamte Brett und bittet Sie, eine Wahl zu treffen. Das ist der Kompromiss, den das Design eingeht, und es ist der Grund, warum das freundliche Raster einen kombinatorischen Ozean verbirgt.

Nichts davon macht WordChess schwieriger zu spielen gut, ein größerer Suchraum ist nicht dasselbe wie eine tiefere Strategie, und das Genie des Schachs liegt darin, wie viel Bedeutung es aus seiner schmalen Verzweigung herauskitzelt. Aber jeder, der ein Wortspiel als die leichte Option imaginiert, hat die Mathematik genau verkehrt. Für seine ersten zwanzig Züge lässt WordChess das große Spiel der Könige beinahe klein erscheinen.