Die verborgene Effizienz der Basis drei und ob ein darauf basierendes Spiel still die elegantere Maschine ist.
Auf Englisch verfasst und redigiert. Diese deutsche Fassung wurde maschinell übersetzt; wo es auf Genauigkeit ankommt, ist das englische Original maßgeblich. Das englische Original lesen →
3927 ist 2048 in drei Dimensionen und mit einer anderen Arithmetik neu aufgebaut. Das Brett ist ein 3×3×3-Würfel, siebenundzwanzig Felder, und Sie schieben den gesamten Würfel in eine der sechs Richtungen. Wenn drei Kacheln mit gleichem Wert aufeinandertreffen, verdoppeln sie sich nicht; sie verdreifachen sich. Eine Drei wird zu einer Neun, eine Neun zu einer Siebenundzwanzig, und so weiter: 81, 243, 729. Der Name selbst zählt die ersten drei Kacheln aufwärts, 3·9·27, und alles am Design dreht sich um Dreier: drei pro Achse, drei für einen Merge, drei als Wachstumsfaktor. 4
Sein Vorfahre ist stur binär. Klassisches 2048 arbeitet mit Potenzen von zwei, 2, 4, 8, 16…, und fusioniert Kacheln zu Paaren. Zwei ist die Zahl des Münzwurfs, des Transistors, des Bits. Die natürliche Frage, die ein neugieriger Spieler stellt, ist daher, ob der Austausch von zwei durch drei bloße Neuheit ist oder ob drei einen echten Vorteil verbarg. Es stellt sich heraus, dass die Mathematik eine Meinung hat, und diese ist überraschend fest.
Stellen Sie sich vor, Sie müssen eine Maschine bauen, die Zahlen speichert. Jede Ziffernposition kostet Sie etwas, ein Rad, ein Draht, eine Röhre, und diese Kosten skalieren mit der Basis, da eine Ziffer der Basis b b unterscheidbare Zustände benötigt. Aber eine größere Basis bedeutet auch, dass Sie weniger Ziffern benötigen, um eine gegebene Zahl zu erreichen. Hier gibt es eine Spannung, und sie hat einen Namen: Radixökonomie.
Formal ist die Ökonomie der Darstellung einer Zahl N in Basis b das Produkt aus Basis und Ziffernanzahl, E(b,N) = b ⌊logb N + 1⌋. 1 Eine große Basis kauft Ihnen kurze Zahlen, aber teure Ziffern; eine kleine Basis ist pro Ziffer billig, aber ausufernd. Irgendwo zwischen den beiden Extremen liegt ein Sweet Spot, und er ist nicht dort, wo die meisten unserer Technologien gelandet sind.
| Basis | b ÷ ln b | vs. Optimum |
|---|---|---|
| 2 | 2.885 | +6.2% |
| 3 | 2.731 | +0.5% |
| e ≈ 2.718 | 2.718 | Optimum |
| 10 | 4.343 | +59.8% |
Für große N verhält sich die Ökonomie wie (b ÷ ln b) · ln N, so dass die Effizienz einer Basis vollständig vom Faktor b ÷ ln b abhängt. Minimieren Sie das mit ein wenig Analysis, und die Antwort ist exakt und seltsam: die wirtschaftlichste Basis überhaupt ist e, ungefähr 2,71828. 1 Natürlich können Sie keinen Computer mit 2,718 Zuständen pro Ziffer bauen. Aber Sie können fragen, welche ganze Zahl diesem Ideal am nächsten liegt, und der Gewinner, der sowohl zwei als auch zehn schlägt, ist drei.
Die Lücke ist nicht akademisch. Basis drei liegt innerhalb von einem halben Prozent des theoretischen Optimums, während binär einen Aufschlag von sechs Prozent zahlt und dezimal ein erdrückendes Sechzig. Eine konkrete Art, es zu fühlen: um jede Zahl von 0 bis 999.999 zu schreiben, benötigt binär 20 Ziffern, dezimal 6, aber ternär nur 13, und 13×3 ist eine kleinere Gesamtzahl als 20×2. 1 Drei packt wirklich mehr Zählen in weniger Struktur.
Die Natur wurde gebeten, den effizientesten Weg zu benennen, zu zählen, und sie antwortete mit einer irrationalen Zahl. Die nächste ganze Zahl zu dieser Antwort ist drei.
Dies ist nicht nur eine Kuriosität der Lehrbücher. 1958 baute an der Moskauer Staatsuniversität ein Team unter der Leitung von Nikolay Brusentsov und dem Mathematiker Sergei Sobolev den Setun, den berühmtesten ternären Computer, der je gebaut wurde. 3 Während der Westen sich für Bits entschied, zählte der Setun in Trits und nutzte ein besonders elegantes Schema: die balancierte Ternärzahl, deren drei Ziffernwerte nicht 0, 1, 2, sondern −1, 0, +1 sind. 2
Die Symmetrie zahlt sich sofort aus. Eine Zahl trägt ihr eigenes Vorzeichen, es gibt kein separates Vorzeichenbit, keine Verrenkungen durch Zweierkomplement, und um einen beliebigen Wert zu negieren, wendet man einfach jede Ziffer um. Rundung und Trunkierung werden zur gleichen Operation. Donald Knuth urteilte, es sei „vielleicht das schönste Zahlensystem von allen". 2 Brusentsov, dem Transistoren fehlten, zwang drei stabile Zustände aus gepaarten Ferritkernen heraus; etwa fünfzig Setuns wurden gebaut, die meisten wurden an die sowjetischen Universitäten geschickt, um dort Mathematik zu lehren. 3 Die Maschine funktionierte, sie war günstig und sie war leise ihren Nachbarn voraus.
Hier muss ein sorgfältiger Autor sich selbst zurückhalten. Radixökonomie ist eine Aussage über das Speichern und Verarbeiten von Zahlen unter spezifischen Kostenannahmen, und selbst Mathematiker bemerken, dass diese Annahmen nur näherungsweise gelten; eine vollständigere Abrechnung rechtfertigt oft wieder das Binärsystem, weshalb die Welt darauf läuft. 1 Ein Merge-Puzzle ist kein Speicher; niemand minimiert im Kaffeepausen-Modus die Anzahl der Röhren. Also ist 3927 in keinem tragenden ingenieurtechnischen Sinne „effizienter", und es wäre ein Betrug, so zu behaupten.
Und doch. Das Spiel erbt etwas Wahres. Wachstum durch Verdreifeln erreicht große Zahlen in weniger, aber gewichtigeren Zügen; jeder Merge verrichtet mehr Arbeit, und ein 3×3×3-Würfel ist das kleinste Brett, das Dreierfusionen in jede Richtung atmen lässt. 4 Das Design ist nicht zufällig auf Drei gestoßen, sondern ist auf die ganze Zahl gelandet, die die Mathematik des Zählens seit einem Jahrhundert still bevorzugt, die, die die Ingenieure des Setun bewusst wählten. Zwei ist die Zahl, die wir standardmäßig wählten. Drei ist die Zahl, die wir gewählt hätten, wenn die Effizienz, und nicht der Münzwurf, das letzte Wort gehabt hätte. Dass die Kacheln zufällig 3, 9, 27 buchstabieren, ist ein kleiner Witz, den das Universum bereits erzählte.
Game facts, the 3×3×3 board, six shift directions, three-tile ×3 merge, and the 3·9·27 naming, are measured from the game's design documents. Mathematical and historical claims are drawn from the references below.