Ein Showdown im Zustandsraum zwischen einem flachen Raster aus Zweien und einem Würfel, der ausschließlich aus Dreien besteht.
Auf Englisch verfasst und redigiert. Diese deutsche Fassung wurde maschinell übersetzt; wo es auf Genauigkeit ankommt, ist das englische Original maßgeblich. Das englische Original lesen →
Beide Spiele sind Gleit-Zahlenrätsel. In 2048 schieben Sie ein 4×4-Raster aus sechzehn Feldern in eine von vier Richtungen; gleiche Kacheln kollidieren und verdoppeln sich, während sie die Potenzen der Zwei erklimmen. In 3927 schieben Sie einen 3×3×3-Würfel aus siebenundzwanzig Feldern in eine von sechs Richtungen; drei gleiche Blöcke kollidieren und verdreifachen sich, während sie die Potenzen der Drei erklimmen, 3, 9, 27, die eigentlichen Ziffern des Namens. 1 Zu fragen, welches schwieriger ist, heißt in Wahrheit zu fragen, welches Spiel den größeren Ozean möglicher Positionen verbirgt. Also versuchen wir, das Wasser zu vermessen.
Die rohe Größe eines Bretts wächst wie (Symbole pro Feld)cells. Die Anzahl der Felder steht im Exponenten, und dort liegt die gesamte Hebelwirkung. 2048 bietet sechzehn Felder; 3927 bietet siebenundzwanzig. Hält man das Alphabet pro Feld konstant, ist der Würfel bereits um einen Faktor von ungefähr a27−16 = a11 größer, mit einem Alphabet aus zehn Symbolen ist das allein hundert Milliarden Zustände mehr, bevor wir irgendetwas anderes berücksichtigen. Die zusätzliche Dimension, nicht die Basis-3-Arithmetik, ist der eigentliche Motor.
Jedes Feld ist entweder leer oder enthält einen Kachelwert. Für 2048, begrenzt auf die 256er-Kachel, spricht ein Feld eines von neun Symbolen, leer, plus {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}. Eine veröffentlichte obere Schranke, die aus genau diesem Alphabet konstruiert wurde, setzt das 4×4-Brett auf etwa 5,63 × 1014 Positionen an, und die Autoren sind offen, dass diese Obergrenze unzulässige Bretter einschließt, die in der Realität nie auftreten können. 2 Geben Sie 3927 eine vergleichbare Tiefe, leer plus {3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187}, acht Symbole, und seine rohe Obergrenze beträgt 827 ≈ 2,4 × 1024. Basis 3 beschafft 3927 weniger Symbole pro Feld als Basis 2 es würde; die elf zusätzlichen Felder geben ihm den Himmel zurück.
Verschieben Sie die Wertleiter ein wenig tiefer, und die Obergrenze von 3927 übertrifft die von 2048 um irgendwo zwischen einer und hundert Milliarden. Der Würfel gewinnt im Exponenten.
Niemand hat die erreichbaren Zustände des vollformatigen 2048 aufgezählt, geschweige denn die von 3927. Aber Forscher haben verkleinerte 2048-Bretter erschöpfend gelöst, und diese exakten Zahlen verankern unsere Schätzungen. Ein 3×3-Brett von 2048 hält 48.713.519 erreichbare Zustände; dehnen Sie es auf 4×3 aus, und die Zahl springt über eine Billion, 1.152.817.492.752 Zustände, mit 739.648.886.170 eindeutigen Positionen nach dem Zug. 3 Jedes hinzugefügte Feld multipliziert die Welt. Extrapolieren Sie diese Kurve auf 27 Felder, und keine ehrliche Tabelle kann eine einzelne Zahl drucken.
| Eigenschaft | 2048 | 3927 |
|---|---|---|
| Brett | 4×4 flach | 3×3×3-Würfel |
| Felder | 16 | 27 |
| Zahlenbasis | 2 | 3 |
| Verschmelzungsregel | 2 gleiche → verdoppeln | 3 gleiche → verdreifachen |
| Schieberichtungen | 4 | 6 |
| Symbole / Feld (angepasste Tiefe) | 9 | 8 |
| Rohe Obergrenze (inkl. unzulässiger) | ~1.9 × 10¹⁵ | ~2.4 × 10²⁴ |
| Zitierte verfeinerte obere Schranke | 5.63 × 10¹⁴ | keine veröffentlicht |
| Exakte Zählung, 4×3-Teilbrett | 1.15 × 10¹² | , |
Jede große Zahl hier ist eine obere Schranke oder eine Größenordnungsschätzung, nie eine Volkszählung. Die Obergrenzen zählen Bretter, die legaler Spielzug nie erreichen kann, drei einzelne 2er, sagen wir, oder Werte, die keine Verschmelzungssequenz erzeugen kann. Die 2048-Zahlen stammen aus peer-reviewter Arbeit; die 3927-Zahlen sind meine eigenen Schätzungen auf der Rückseite eines Umschlags, auf dieselbe Weise berechnet, und sollten als „nicht kleiner als dies, wahrscheinlich weit weniger" gelesen werden. Die Regeln beider Spiele sind aus den Design-Dokumenten des Spiels gemessen, nicht angenommen.
Die Größe des Zustandsraums ist die Karte; der Verzweigungsfaktor bestimmt, wie schnell Sie sie ablaufen. In jedem Zug wählt der Spieler eine Richtung, in 2048 bis zu vier, in 3927 bis zu sechs, sodass der Würfel pro Zug um fünfzig Prozent mehr reale Optionen bietet. Dann greift der Zufall ein: Das Spiel legt eine neue Kachel in ein zufälliges leeres Feld. 2048 erzeugt eine 2 oder eine 4, was bei bis zu fünfzehn leeren Feldern etwa zwei Ergebnisse pro offenem Feld ergibt; 3927 erzeugt immer eine einzelne 3, aber in bis zu sechsundzwanzig leeren Feldern. 1 Multipliziert man Entscheidung mit Zufall, so weitet sich der Spielbaum von 3927 an jeder Ebene stärker aus, und da Verschmelzungen von drei Kacheln seltener sind als solche von zwei, neigen seine Partien dazu, länger zu dauern, was den Baum nicht nur breiter, sondern auch tiefer macht.
„Schwieriger" ist für einen Menschen eine Frage des Gefühls, und 2048 ist kein Leichtgewicht, die Entscheidung, ob eine beliebige Position eine Zielkachel erreichen kann, ist auf einem allgemeinen Brett nachweislich NP-schwer. 4 Aber als kombinatorisches Objekt ist 3927 mit weitem, ehrlichem Abstand das größere Tier: mehr Felder im Exponenten, mehr Richtungen in der Verzweigung, längere Partien in der Tiefe. Die Basis-3-Arithmetik, die ihm seinen Namen gibt, ist beinahe ein Ablenkungsmanöver. Die Schwierigkeit lag nie in den Dreien. Sie lag in der dritten Dimension.
Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 916 and 827 are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.